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特征函数

特征函数

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随机变量的特征函数
一、随机变量特征函数的定义与计算 Def 设 X 是一个随机变量,则称

? (t ) ? E (eitX )

? ? ? t ? ??

为随机变量 X 的特征函数,其中i为虚单位。 特征函数的计算 设离散型随机变量的概率分布为

P( X ? xk ) ? pk

? (t ) ? ? eitx pk 则随机变量的特征函数为
k

??

k ? 1, 2,?

k ?1

设连续型随机变量的概率密度为 f X (x) 则随机变量的特征函数为 ? (t ) ?
?? ??

e itx f X ( x) dx ?

例4.23 设X ~ B(1, p), 求其特征函数。 解:由X ~ B(1, p)知概率函数为

P ? X ? x? ? p x (1 ? p)1? x x ? 0,1 所以特征函数为

? (t ) ? peit ? q

其中q ? 1 ? p

例4.24 设X ~ P(? ), 求其特征函数。 解:由X ~ P (? )知概率函数为
k! 所以特征函数为 P ? X ? k? ?
??

?k

e ? ? k ? 0,1, 2,?

? (t ) ? ? e
k ?0

ikt

?k
k!

e

??

?e e

? ? ? eit

?e

? ( eit ?1)

例4.25设X ~ N (0,1), 求其特征函数。 解:由X ~ N (0,1)知概率密度为

1 f ( x) ? e ? ? ? x ? ?? 2? 所以特征函数为

?

x2 2

? (t ) ?

??

??

?e

itx

1 e 2?

x2 ? 2

dx ? e

t2 ? 2

1 2?

??

??

?e

( x ?it )2 ? 2

dx ? e

t2 ? 2

例4.26 设X ~ e(? ), 求其特征函数。 解:由X ~ e(? )知概率密度为f ( x) ? I ? x ? 0? ? e ? ? x

所以特征函数为

? (t ) ?

??

eitx ? e ? ? x dx ? ?[ ? cos(tx)e ? ? x dx ? i ? sin(tx)e ? ? x dx] ?
0 0 0

??

??

t it ?1 ? ?[ 2 2 i 2 2 ] ? (1 ? ) ? ?t ? ?t ?
二、随机变量特征函数的性质
1. ? (t ) ? ? (0) ? 1 2.? (?t ) ? ? (t ) 其中? (t )为? (t )的共轭。 3.若Y ? aX ? b,其中a, b为常数,则Y的特征函数为

?

?Y (t ) ? eibt? X (at ) 4.设X 与Y 相互独立,则? X ?Y (t ) ? ? X (t )?Y (t )
5.若E ( X l )存在,则X 的特征函数? (t )l次可导,且对1 ? k ? l

? ( k ) (0) ? i k E ( X k )
特别E ( X ) ?

? ?(0)
i

D ( X ) ? ?? ??(0) ? (? ?(0)) 2

例4.27 设X ~ B(n, p), 求其特征函数。

解:易知X ? ? X i , 其中X i ~ B(1, p ) i ? 1,2, ? , n
i ?1

n

而X i的特征函数为? X i (t ) ? peit ? q 由特征函数的性质有
n n

i ? 1,2, ? , n

? X (t ) ? ? ? X (t ) ? ? ( peit ? q) ? ( peit ? q ) 2
i ?1
i

i ?1

例4.28 设Y ~ N ( ? , ? 2 ), 求其特征函数。

解:令X ? (Y ? ? ) / ? , 易知X ~ N (0,1),其特征函 数为? X (t ) ? e ,而Y ? ?X ? ?,由特征函数的 性质有 ?Y (t ) ? eit?? X (?t ) ? e
(?t ) 2 it? ? 2 t2 ? 2

例4.29 设X ~ N ( ? , ? 2 ),由特征函数求其期望与方差。

解:X的特征函数为

? X (t ) ? e
从而

(?t ) 2 it? ? 2 (?t ) 2 it? ? 2 (?t ) 2 it? ? 2

? ? (t ) ? (i? ? ? 2t )e X ? ?? (t ) ? ?? e X ? ? (0) X
(?t ) 2 it? ? 2 2

? (i? ? ? 2t ) 2 e

所以 E ( X ) ?

i D( X ) ? ?? ?? (0) ? (? ? (0)) 2 ? ? 2 X X

??

三、特征函数的性质续

1.随机变量X的特征函数? (t )在(??,??)上一致连续. 2.随机变量X的特征函数? (t )是非负定函数. 证明:只对连续型情况证明 设随机变量的概率密度函数为f ( x). 1.对于任意的实数t , h和正数a,有
?? ??

? (t ? h) ? ? (t ) ?

??

e i ( t ? h ) x f ( x)dx ? ? e itx f ( x)dx ?
?? ??

?

??

e itx (e ihx ? 1) f ( x)dx ?

??

? ? ?

??

(e ihx ? 1)e itx f ( x )dx ? e ihx ? 1 f ( x) dx ?

??

?? ?a

?a

e ihx ? 1 f ( x)dx ? ?

x ?a

? 2 f ( x)dx

对于任意? ? 0,先取定一个充分大的a,使得 2
x ?a

? f ( x)dx ? 2
?
2a ,则当 h ? ?时

?

对任意的x ? [ ? a,? a ],取? ?

便有 e ihx ? 1 ? e

h i x 2

(e

h i x 2

?e

h ?i x 2

)

hx hx ? ? 2 sin ?2 ? ha ? 2 2 2 从而对所有t ? (??,??),有
?a

? (t ? h) ? ? (t ) ?

?a

? 2 f ( x)dx ? 2 ? ?

?

?

即? (t )在(??,??)上一致连续。

所谓函数? (t )非负定是指对于任意正整数n及n个实 数t1 , t 2 , ? , t n和n各复数z1 , z 2 , ?, z n 有

?? ? (t
k ?1 j ?1

n

n

k

? t j ) zk z j ? 0
n n ?? i ( t k ?t j ) x

由于 ?
?? n

?? ? (t
k ?1 j ?1 n k j

n

n

k

? t j ) z k z j ? ?? z k z j ? e
k ?1 j ?1 ?? ??

f ( x)dx
it j x

? ? k ?1 j ?1 ?? n

? ?? z z e

i ( t k ?t j ) x

f ( x)dx ? ? (? z k e
? ? k ?1 ?it j x

n

it k x

)( ? z j e
j ?1

n

) f ( x)dx

? ? (? z k eit k x )( ? z j e
? ? k ?1 j ?1

n

) f ( x)dx ?

?? n

? ? k ?1

z k e it k x f ( x)dx ? 0 ??

三、逆转公式与唯一性定理

逆转公式:设随机变量X的分布函数与特征函数分 别为F ( x), ? (t ),则对F ( x)的任意连续点x1 , x2有 1 F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? lim T ? ?? 2? 1 记J T ? 2? 1 ? 2?
?T ?T

e itx1 ? e itx2 ?T it ? (t )dt ?

证明:只对连续型证明。设随机变量的概率密度为f ( x), e itx1 ? e itx2 ?T it ? (t )dt ? ? ? e itx2 itx e f ( x)dx? dt it ?

?T ? ? itx1

? e ?T ???? ? ?

对于任意实数a,有 e ia ? 1 ? a .

事实上 对于实数a ? 0,有 eia ? 1 ? ? eix dx ? ? eix dx ? a.
0 0 ia ia a a

对于实数a ? 0,有 e ? 1 ? e (e
ia

? 1) ? e

ia

?1 ? a

e ?itx1 ? e ?itx2 itx e ?it ( x1 ? x2 ) ? 1 ?itx2 itx 因此有 e ? e e ? x2 ? x1 it it 即J T中被积函数有界,所以积分可交换次序,得 1 JT ? 2? 1 ? 2?
? ? ?T

? e ?itx1 ? e ?itx2 itx ? ?????T it e dt? f ( x)dx ? ? ?

? ? ?T

? eit ( x ? x1 ) ? e ?it ( x ? x1 ) ? eit ( x ? x2 ) ? e ?it ( x ? x2 ) ? dt ? f ( x)dx ??? ? it ? ? 0 ?

1 JT ? 2? 1 ? 2?

? e ? itx1 ? e ? itx2 itx ? ?????T it e dt? f ( x)dx ? ? ?
?? ? T ? ? ?T

? ? sin t ( x ? x1 ) sin t ( x ? x2 ) ? ? ? ?dt ? f ( x)dx ??? ? ? t t ? ? ? ? 0? 1
?T

? sin t ( x ? x1 ) sin t ( x ? x2 ) ? 又记g (T , x, x1 , x2 ) ? ? ? ? ?dt ? 0? t t ? ?1 ?2 a ? 0 ? ? 1 sin at 由狄利克雷积分D(a) ? ? dt ? ? 0 a ? 0 ? 0 t ? 1 ?? a?0 ? 2

T ? ??

lim g (T , x, x1 , x2 )

? 0 x ? x1或x ? x2 ? ? 1 ? D( x ? x1 ) ? D( x ? x2 ) ? ? x ? x1或x ? x2 ? 2 ? 1 x1 ? x ? x2 ? 且g (T , x, x1 , x2 )有界,从而积分与极限可交换次序
??

所以 lim ?
T ? ??

T ? ?? ?? x2

? lim
x1

g (T , x, x1 , x2 ) f ( x)dx

?

? f ( x)dx ? F ( x ) ? F ( x )
2 1

唯一性:随机变量X的分布函数由其特征函数唯一确定。 1 特别 : 对连续型随机变量有f ( x) ? e ?itx? (t ) dt 2? ?? ? 例4.31 已知连续型随机变量X的由特征函数为
??

? (t ) ? e ? x
解:由逆转公式 1 f ( x) ? 2?

t ? (??,??)

求随机变量X的概率密度函数。
?? 0 ? 1 ? ?(1?ix ) t ?itx ? x (1?ix ) t ??e e dx ? 2? ? ? e dx ? ???e dx? ? ?0 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? ?1 ? ix ? 1 ? ix ? ? ? (1 ? x 2 ) 2? ? ? ??

五、多元特征函数
1、多元特征函数的定义 设n元随机变量为(?1 , ? 2 ,? , ? n )的分布函数为
F ( x1 , x2 ,? , xn ), 则它的特征函数定义为
f (t1 , t2 ,?, tn ) ? ? ?? ei( t1 x1 ?t2 x2 ???tn xn ) dF ( x1 , x2 ,?, xn )
?? ?? ? ?

2、多元特征函数的性质
(1) 性质1 f ( t1 , t 2 ,? , t n )在 R 中一致连续,而且
n

| f ( t1 , t 2 ,? , t n ) |? f (0, ?,=1 0, 0)

f ( ?t1 , ?t 2 ,? , ?t n ) ? f ( t1 , t 2 ,? , t n )
(2) 性质2
如果f ( t1 , t 2 ,? , t n )是(?1 , ? 2 ,? , ? n )的特征函数 则? ? a1?1 ? a2? 2 ? ? ? an? n的特征函数为

f? ( t ) ? f (a1t1 , a2 t 2 ,? , an t n )
(3) 性质3
n

k 如果矩E (?1k1 ? 2k2 ?? n n )存在,则

k E (?1k1 ? 2k2 ?? n n )

? k j ? ? k1 ? k2 ??? kn f ( t , t ,? , t ) ? 1 2 n ? i j?1 ? ? kn k1 k2 ?t1 ?t 2 ? ?t n ? ? t1 ? t2 ??? tn ?0
?

(4) 性质4 若(?1 , ? 2 ,? , ? n )的特征函数为f ( t1 , t 2 ,? , t n ),

则k ( k ? n)维随机向量(?1 , ? 2 ,? , ? k )的特征函数为

f1,2,?,k ( t1 , t 2 ,? , t k ) ? f ( t1 , t 2 ,? , t k , 0,?, 0)
这是前k 个分量的k 元边际分布函数对应的特征 函数,对于其他分量的边际分布函数的特征函 数也可以类似得到.

逆转公式

如果f ( t1 , t 2 ,? , t n )是随机变量(?1 , ? 2 ,

? , ? n )的特征函数,而F ( x1 , x2 ,? , xn )是它的分布函 数,则 P{ak ? ? k ? bk , k ? 1, 2,? , n}

1 ? lim T j ?? (2 π) n j ?1,?n

? ?

T1

T2

?T1 ?T2

??

Tn

?Tn

?
k ?1

n

e

? i t k ak

?e i tk

? i t k bk

? f ( t1 , t 2 ,? , t n )d t1 d t 2 ?d t n
其中ak 和bk 都是任意实数,但须满足唯一的要求: (?1 , ? 2 ,? , ? n )落在平行体ak ? xk ? bk , k ? 1, 2, ? , n 的面上的概率等于零

唯一性定理 分布函数F ( x1 , x2 ,? , xn )由其特 征函数唯一决定
(5) 性质5

若(?1 , ? 2 ,? , ? n )的特征函数为f ( t1 , t 2 ,? , t n ),而? j 的特征函数为f? j ( t ), j ? 1, 2,? , n, 则随机变量?1 , ? 2 , ? , ? n相互独立的充要条件为

f ( t1 , t 2 ,? , t n ) ? f?1 ( t1 ) f?2 ( t 2 )? f?n ( t n )

(6) 性质6

若以f1 ( t1 , t 2 ,? , t n ),f 2 (u1 , u2 ,? , um ), f (t1 , t 2 ,? , t n , u1 , u2 ,? , um )分别表示随机向量(?1 , ? 2 ,? , ? n ), 1 , (?

?2 ,? ,?m )以及(?1 , ? 2 ,? , ? n ,?1 ,? 2 ,? ,? m )的特征函数,
则随机向量(?1 , ? 2 ,? , ? n )与(?1 ,? 2 ,? ,?m )独立的充 要条件为:对一切实数t1 , t 2 ,? , t n 及u1 , u2 ,? , um 成立

f ( t1 , t 2 ,? , t n , u1 , u2 ,? , um ) ? f1 ( t1 , t 2 ,? , t n ) ? f 2 (u1 , u2 ,? , um )

连续性定理 若特征函数列{ f k ( t1 , t 2 ,? , t n )}收 敛于一个连续函数f ( t1 , t 2 ,? , t n ), 则函数f ( t1 , t 2 , ? , t n )是某分布函数所对应的特征函数.
附录一(p332) 常见分布表
表中第五列给出了常见分布函数的特征函数.


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